Mediatriz

La mediatriz de un segmento AB es una recta que cumple:

• Es la perpendicular a la recta AB que pasa por el punto medio
• El lugar geométrico de los puntos que equidistan de A y B.

Para calcular la mediatriz no tenemos más que aplicar la primera definición. Tenemos dos pasos:

1. Calculamos el punto medio de AB, que llamaremos M
2. Calculamos la pendiente de la recta que pasa por A B, y luego coma la recta es perpendicular m’=-1/m

Ejemplo: calcular la mediatriz del segmento AB, con  A(0,5) y B(3,-1)

1) El punto medio M=(A+B)/2=((3,-1)+(0,5))/2=(1'5,2)

2) _{=(3,-6) → m=-2, luego la pendiente de la mediatriz es entonces la inversa cambiada de signo m=1/2=0.5}

_{Luego la ecuación de la mediatriz que pasa por M(1'5,2) y pendiente m=0.5 en la expresión punto pendiente es   r: y-2=0.5·(x-1.5)}

Circuncentro del triángulo

El circuncentro de un triángulo es el punto que se obtiene de la intersección de las 3 mediatrices. Se cumple que es el centro de la circunferencia que circunscribe el triángulo, ya que el punto donde se cortan las mediatrices equidista de los tres vértices.

Cálculo del circuncentro, dos pasos:

1. Calcular dos de las tres mediatrices de los lados del triangulo.
2. Calcular la intersección de estas dos mediatrices.

Ejemplo: calcular las mediatrices del triángulo que forma la recta y=-x+3 con los semiejes coordenados positivos. Calcular el circuncentro y el radio de la circunferencia.

Calculemos primero los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados. Son claramente A(0,3), ya que n=3 es la ordenada en el origen y con e eje OX es B(3,0).

1) Calculamos las mediatrices (sólo sería necesarias dos)

• Del lado AC → M(0,1.5), y es una recta paralela al eje OX → x=1.5
• Del lado CB → M(1.5,0), es una recta paralela al eje OY → y=1.5
• Del lado AB → M(1.5,1.5), à m’=-1, luego la pendiente de la mediatriz es m=1 → y-1.5=(x-1.5) →  y=x

2) Circuncentro, sólo necesitamos la intersección de dos de las tres mediatrices:

3) El radio del circuncentro es la distancia de cualquier vértice con el circuncentro c → d(c,A)=d(c,B)=d(c,C)=