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Medición de la altura de la Gran Pirámide
Cuentan los cronistas de la antigüedad que, en uno de sus viajes a Egipto, Thales de Mileto ideo un método para medir la altura de la Gran Pirámide de Keops a partir de su sombra.
Hay distintas versiones de cómo lo hizo: en una parece que midió su propia sombra y la de la Pirámide y, en otra, dicen que midió la sombra de un bastón colocado verticalmente y la sombra de la pirámide. En ambas versiones las mediciones se habrían hecho en el instante en el que las longitudes de las sombras coinciden con las alturas. Hay una tercera versión en la que se utiliza un bastón y las medidas de las sombras no se toman en el instante en el que longitud de sombra y altura coinciden. En este último método, se termina estableciendo una proporción entre las longitudes de las sombras y la de las alturas.
Hay que comentar también, que este método no fue inventado por Thales, ya que los egipcios ya lo utilizaban, tal y como queda reflejado en el Papiro Rhind (texto egipcio con problemas matemáticos escrito en el siglo XVI a.C.).
Explicaremos la tercera resolución del problema por tener un carácter más general:
- Thales midió la longitud de un bastón y la longitud de la base de la pirámide.
- Colocó el bastón en vertical y midió la sombra que proyectaba.
- En ese mismo momento midió la sombra de la pirámide.
- Estableció una proporción entre las sombras y las alturas.
Veámoslo con un esquema:
A: Longitud del bastón
B: Sombra del bastón
C: Longitud desde el centro de la base de la pirámide hasta el final de su sombra. Se obtiene midiendo la sombra y sumándole la longitud de la base partida por 2.
D: Altura de la pirámide
Como el ángulo de incidencia del sol es el mismo en el bastón y en la pirámide, podemos simplificar el esquema:
Temos así que tenemos dos triángulos en posición de Thales y que, por tanto, son semejantes.
De modo que podemos establecer la siguiente proporción: 
Despejando D en esta proporción: 
Cálculo de la distancia de una nave a la costa
Otro problema cuya resolución se le atribuye a Thales es el del cálculo de la distancia de un barco a la costa. Parece que en un ataque por mar a la ciudad de Mileto, los soldados pidieron a Thales que calculase la distancia a la que estaban los barcos para así poder ajustar bien sus catapultas.
También nos han llegado distintas versiones de cómo Thales resolvió este problema, pero en esencia debió de ser algo así.
- Thales se subió a una torre o un acantilado con dos listones que estaban unidos formando un ángulo recto.
- Hizo coincidir la dirección de uno de los listones con su vertical y el otro, por tanto, con la horizontal.
- Desde el extremo más alto del listón vertical miró hacia el barco y marcó el punto del listón horizontal que era intersecado por su visual.
- Entonces estableció una proporción entre las alturas al punto más alto del listón vertical ( medidas desde la torre y desde el suelo) y las distancias horizontales (la del listón horizontal y la distancia del barco a la costa)
Veámoslo con un esquema:
Donde:
A: Longitud del listón vertical
B: Longitud del listón horizontal hasta el punto de intersección con la visual.
C: Altura desde el suelo del listón vertical.
D: Distancia del barco a la costa.
Otra vez volvemos a tener dos triángulos en posición de Thales y podemos establecer la proporción: 
Despejando D: 